Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo re[...]
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1 , C2 e C3, como apresentados na figura.
[IMAGEM]Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2 ) + área (C3).
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas.
O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura
[IMAGEM]A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
A Lei dos Cossenos é uma ferramenta fundamental para lidar com triângulos, especialmente quando se trata de triângulos que não são necessariamente retângulos. A lei relaciona os lados e os ângulos de um triângulo, incluindo triângulos que não são equiláteros.
O problema menciona um triângulo retângulo com lados a, b, e c (onde a é a hipotenusa).
A construção assegura que a é o diâmetro do círculo 1C1, e b e c são os diâmetros dos círculos 2C2 e 3C3.
A Lei dos Cossenos afirma que, em um triângulo qualquer, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, ajustados por um termo adicional relacionado ao cosseno de um ângulo.
Neste caso, podemos escrever a relação usando a Lei dos Cossenos como: a2=b2+c2−2bc cos (α)
O professor, ao dividir as pizzas ao meio, forma um triângulo com os diâmetros das pizzas.
O ângulo α corresponde ao ângulo entre os lados b e c do triângulo formado pelos diâmetros das pizzas.
O professor afirma que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
Isso implica que a2 (área da pizza do professor) é maior do que b2+c2 (soma das áreas das pizzas dos amigos).
Portanto, 2bccos(α) deve ser negativo (já que a2=b2+c2−2bccos(α), indicando que o cosseno de α é negativo.
Assim, 90°<α<180°, pois em um triângulo retângulo, o ângulo entre os lados b e c está na faixa de 90° a 180°.
A resposta correta é 90°<α<180°, indicando que o ângulo α está na faixa em que o cosseno é negativo, confirmando a afirmação do professor em relação à área da sua pizza em comparação com a soma das áreas das outras duas pizzas.
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